Question

P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的

 

心；
（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的

 

心；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的

 

心；
（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OE=OF=OD，三线段分别垂直于对应的边，可得其为内心；同理可得P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的外心；PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心．

解答： 解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填：垂．
（2）若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填：内；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填：垂．
（4）若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填：外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外

点评：本题考查棱锥的结构特征，三角形五心的定义，考查逻辑思维能力，是基础题．