Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（

1

2

，cos²θ）在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β 的终边上，且

OP

•

OQ

=-

1

2

．则sin（α+β）=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：利用向量的数量积坐标运算，平方关系求出的三角函数值，进而求出点P和Q的坐标，由三角函数定义求出角α和β三角函数值，代入两角和的正弦公式求解．

解答： 解：∵

OP

•

OQ

=-

1

2

，∴

1

2

sin2θ-cos2θ=-

1

2

∴cos²θ=

2

3

，sin²θ=

1

3

∴P（

1

2

，

2

3

），Q（

1

3

，-1），
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，sinβ=

3 10

10

，cosβ=

10

10

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

10

10

+

3

5

×(-

3 10

10

)=-

10

10

．
故答案为：-

10

10

．

点评：本题是三角函数与向量结合的题目，主要利用向量的坐标表示和三角恒等变换进行求解，考查了灵活利用公式的能力．