Question

15．如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下五个命题：
①平面MENF⊥平面BDD'B'
②四边形MENF的面积的最大值为2；
③多面体ABCD-MENF的体积为$\frac{1}{2}$；
④四棱锥C′-MENF的体积恒为定值$\frac{1}{3}$；
⑤直线MN与直线CC′所成角的正弦值的范围是[${\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1]
以上命题中正确的有①③④⑤．

Answer 1

分析 对于①：利用正方体的性质体育线面垂直的判定定理：可得EF⊥平面BDD′B′，即可得出平面MENF⊥平面BDD′B′；
对于②：连接MN，由①可得：EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，要使面积最大，则只需MN的长度最大即可，MN取正方体的对角线D′B时取得最大值$\sqrt{3}$，即可判断出正误；
对于③：多面体ABCD-MENF的体积与多面体A′B′C′D′-MENF的体积相等，进而判断出正误；
对于④：连接C′E，C′M，C′N，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以△C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．M，N到平面C'EF的距离是个常数，即可判断出四棱锥C'-MENF的体积V为常函数．
对于⑤：当点N取D′，点M取B时，直线MN与直线CC′（即直线BB′）所成角的正弦值最小为$\frac{{B}^{′}{D}^{′}}{B{D}^{′}}$；当点N取DD′的中点，点M取BB′的中点时，直线MN与直线CC′（即直线BB′）所成角的正弦值最大为1，即可得出正弦值的范围．

解答 解：对于①：EF⊥BD，又EF⊥DD′，又BD∩DD′=D，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′，因此①正确；
对于②：连接MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最大，则只需MN的长度最大即可，此时当点N取D′，点M取B时，MN取得最大值$\sqrt{3}$，∴四边形MENF的面积的最大值为$\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，因此②不正确；
对于③：多面体ABCD-MENF的体积与多面体A′B′C′D′-MENF的体积相等，∴多面体ABCD-MENF的体积为$\frac{1}{2}$×1³，即$\frac{1}{2}$，因此③正确；
对于④：连接C′E，C′M，C′N，则四棱锥分割为两个小三棱锥，
它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V为常函数，因此④正确．
对于⑤：当点N取D′，点M取B时，直线MN与直线CC′（即直线BB′）所成角的正弦值最小为$\frac{{B}^{′}{D}^{′}}{B{D}^{′}}$，为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，化为$\frac{\sqrt{6}}{3}$；当点N取DD′的中点，点M取BB′的中点时，直线MN与直线CC′（即直线BB′）所成角的正弦值最大为1，因此正弦值的范围是[${\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1]，因此正确．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了综合考查了正方体的性质、空间位置关系、线面垂直的判定与性质定理、棱锥的体积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．