Question

如图，多面体ABC-A₁B₁C₁和它的三视图．
（1）线段CC₁上是否存在一点E，使BE⊥平面A₁CC₁，若不存在请说明理由，若存在请找出并证明；
（2）求平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，设存在一点E，使BE⊥平面A₁CC₁，设

CE

=λ

EC1

，由此利用向量法能求出线段CC₁上存在一点E，满足

CE

=2

EC1

，使BE⊥平面A₁CC₁．
（2）求出平面C₁A₁C的法向量和平面A₁CA的一个法向量，利用向量法能求出平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角余弦值．

解答： 证明：（1）由已知知AA₁，AB，AC两两垂直，如图建系，BC=2

2

，则A（0，0，0），
A₁（0，0，2），B（-2，0，0），C（0，-2，0），C₁（-1，-1，2），

CC1

=(-1，1，2)

A1C1

=(-1，-1，0)，

A1C

=(0，-2，-2)．…（1分）
设E（x，y，z），则

CE

=(x，y+2，z)

，& EC1

=(-1-x，-1-y，2-z)…（3分）
设

CE

=λ

EC1

，⇒

x=-λ-λx y+2=-λ-λy z=2λ-λz

则E(

-λ

1+λ

，

-2-λ

1+λ

，

2λ

1+λ

)，

BE

=(

2+λ

1+λ

，

-2-λ

1+λ

，

2λ

1+λ

)…（4分）
由

BE • A1C1 =0 BE • A1C =0

⇒

- 2+λ 1+λ + 2+λ 1+λ =0 -2-λ 1+λ + 2λ 1+λ =0

，得λ=2
所以线段CC₁上存在一点E，

CE

=2

EC1

，使BE⊥平面A₁CC₁…（6分）
另证：补形成正方体，易证CE：EC₁=2：1
（2）设平面A₁C₁C的法向量为

m

=(x，y，z)，则由

m • A1C1 =0 m • A1C =0

，得

-x-y=0 -2y-2z=0

，
取x=1，则y=-1，z=1．故

m

=(1，-1，1)，…（8分）
而平面A₁AC的一个法向量为

n

=(1，0，0)，则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

=

3

3

…（11分）
平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角的余弦值为

3

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．