Question

4．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比．现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为$\sqrt{2}$时，横梁的强度最大．

Answer 1

分析 据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值，即可得出结论．

解答 解：设直径为d，如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy²取最大值时，横梁的强度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍去）．
当0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，f′（x）＞0；当$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d时，f′（x）＜0，
因此，当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d时，f（x）取得极大值，也是最大值．
∴y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$d，∴$\frac{y}{x}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．