Question

锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B-A）=2sin²

C

2

．
（Ⅰ）求sinAsinB的值；
（Ⅱ）若a=3，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）先利用余弦的二倍角公式对已知等式化简，利用两角和公式展开整理可求得sinAsinB的值．
（Ⅱ）根据正弦定理确定sinA和sinB的关系式，进而求得sinA和sinB，进而求得cosA和cosB，最后利用两角和公式求得sinC的值，通过三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos（B-A）=2sin²

C

2

=1-cosC=1+cos（B+A），
∴cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA-sinBsinA，
即sinAsinB=

1

2

，
（Ⅱ）∵

sinA

sinB

=

a

b

=

3

2

，又sinAsinB=

1

2

，
解得：sinA=

3

2

，sinB=

3

3

，
因为是锐角三角形，∴cosA=

1

2

，cosB=

6

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3 2 + 3

6

∴三角形面积S=

1

2

absinC=

1

2

×3×2×

3 2 + 3

6

=

3 2 + 3

2

．

点评：本题主要考查了解三角形的应用．考查了学生三角函数基础知识综合运用．