Question

已知点是圆上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点．

（I）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与 交于B1，B2两点.当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|.

Answer 1

解：（I）由题意得，圆的半径为，且 

从而  ………… 2分

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,   ………… 4分

其中长轴,得到,焦距，

则短半轴

椭圆方程为:     ………… 5分

   （Ⅱ）当直线 与x轴垂直时，B1(1，),B2(1，-),又F1(-1,0),

   此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1.不满足条件.……………（6分）

当直线 不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

        由

    因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点.

        设B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则

        因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1(-1，0)

        所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0

        所以解得           ……………（8分）

        由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

        因为直线 与抛物线有两个交点，所以

        设A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则

        所以 .     …………(12分)