Question

1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF=2FE
（Ⅰ）求证：平面SBC⊥平面SAE
（Ⅱ）若G为DE中点，求二面角G-AF-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明BC与平面SAE内的两条相交直线垂直即可；
（Ⅱ）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O-xyz，分别求出设平面AFG的法向量为$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1），平面AFE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-2，0），利用向量的夹角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，
又∵AC=AB，且点E是BC的中点，
∴BC⊥AE，
∵SA∩AE=A，
∴BC⊥底面SAE，
∵BC?平面SBC，
∴平面SBC⊥平面SAE．
（Ⅱ）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O-xyz，
则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，$\frac{1}{2}$，0），C（2，0，0），B（0，2，0）
由SF=2FE得F（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AG}$=G（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0）
设平面AFG的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=2，得到x=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1）
设平面AFG的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=2，得到x=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-1）
设平面AFE的法向量为$\overrightarrow{n}$
由（Ⅰ）知$\overrightarrow{BC}$为平面AES的一个法向量，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0）
∴cosα=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2-4}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵二面角G-AF-E的平面角为锐角，
∴二面角G-AF-E的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．