Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x₀，0），求证：g（x）在x₀处的导数g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；
（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的单调性，结合单调性及在[

1

e

，e]内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；
（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h/(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

， e]内，
当x∈[

1

e

，1)时，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是：

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e) ≤ 0.

即1＜m≤2+

1

e2

．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，g/(x)=

2

x

-2x-k．
假设结论不成立，则有：

2lnx1-x12-kx1=0 ① 2lnx2-x22-kx2=0 ② x1+x2=2x0 ③ 2 x0 -2x0-k=0 ④

①-②，得2ln

x1

x2

-(x12-x22)-k(x1-x2)=0．
∴k=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由④得k=

2

x0

-2x0，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

．⑤
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
则u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g'（x₀）≠0．

点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思．