Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

可得函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1的最大值为a+3=4，解之可得．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）+a
=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1的最大值为a+3，
又∵函数f（x）的最大值为4，∴a+3=4，
解得a=1，∴a的值为1．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及正弦函数的单调性和最值，属基础题．