Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a-c=

6

6

b，sinB=

6

sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）将sinB=

6

sinC，利用正弦定理化简得：b=

6

c，
代入a-c=

6

6

b，得：a-c=c，即a=2c，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6c2+c2-4c2

2 6 c2

=

6

4

；
（Ⅱ）∵cosA=

6

4

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

10

4

，
∴cos2A=2cos²A-1=-

1

4

，sin2A=2sinAcosA=

15

4

，
则cos（2A-

π

6

）=cos2Acos

π

6

+sin2Asin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．