Question

空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=AC，E是AB的中点，若CE与平面BCD所成的角为θ，则（　　）

• A、sinθ=

  2

  3

• B、sinθ=

  3

  3

• C、cosθ=

  2

  3

• D、cosθ=

  3

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意得到四面体为正四面体，分别过A、E作平面BCD的垂线，垂足分别是O、G，取CD的中点F，连接BF，CE，CG，CE与平面BCD所成的角∠ECG=θ，根据重心，求出直角三角形EGC的各边，计算即可．

解答： 解：分别过A、E作平面BCD的垂线，垂足分别是O、G，取CD的中点F，连接BF，CE，CG，
∴CE与平面BCD所成的角θ=∠ECG
令AB=1，
∵AB=BC=CD=DA=BD，
∴A-BCD是正四面体，
∴O为△BCD的重心，
∴BO=

2

3

BF，
∵△BCD是等边三角形，
∴BF=

3

2

CD=

3

2

，
∴BO=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∴AO=

AB2-BO2

=

1- 1 3

=

6

3

，
∵AO⊥平面BCD、EG⊥平面BCD，
∴EG∥AO，又AE=BE，
∴EG=

1

2

AO=

6

6

，
显然有：CE=BF=

3

2

，
∴CE与平面BCD所成的角θ=∠ECG
∴sinθ=

EG

CE

=

3

2

．
故选：A

，

点评：本题主要考查了正四面体的性质，线面角的有关计算，作出线面角是关键，属于中档题．