Question

已知函数f_t（x）=（x-t）²-t（t∈R），设a＜b，f（x）=

fa(x)，fa(x)＜fb(x) fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函数y=f（x）+x+a-b有三个零点，则b-a的值为（　　）

• A、2+

  5

• B、2+

  3

• C、

  5-2

• D、2-

  3

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：解方程f_a（x）=f_b（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a有三个不同的交点，由图象知，点P在l上，故，由此解得b-a的取值．

解答： 解：作函数f（x）的图象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得，
（x-a）²-a=（x-b）²-b，解得x=

a+b-1

2

，此时y=（

a+b-1

2

-a）²-a=（

b-a-1

2

）²-a，
即交点坐标为（

a+b-1

2

，（

b-a-1

2

）²-a），
若y=f（x）+x+a-b有三个零点，
即f（x）+x+a-b=0有三个根，
即f（x）=-x+b-a，
分别作出f（x）与y=-x+b-a的图象如图：
要使函数y=f（x）+x+a-b有三个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a有三个不同的交点．
由图象知，点P在l上，
所以（

b-a-1

2

）²-a=-

a+b-1

2

+b-a，
即（

b-a-1

2

）²=

b-a+1

2

，
设t=b-a，则t＞0，
则方程等价为

(t-1)2

4

=

t+1

2

，即t²-4t-1=0，
即t=

4± 20

2

=2±

5

，
∵t＞0，∴t=2+

5

，即b-a=2+

5

，
故选：A．

点评：本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．．