Question

设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

 

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Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：新定义,集合

分析：考虑M的n+2元子集P={n-1，n，n+1，…，2n}，P中任何4个不同元素之和不小于n-1+n+n+1+n+2=4n+2，
所以k≥n+3，先将M的元配对为n对，B_i=（i，2n+1-i），1≤i≤n，再将M的元配为n-1对，C_i=（i，2n-i），1≤i≤n-1，找出一对C_i4必与B_i1，B_i2，B_i3中至少一个无公共元素，即可得到k的最小值和4个互不相同的元素之和．

解答： 解：考虑M的n+2元子集P={n-1，n，n+1，…，2n}，
P中任何4个不同元素之和不小于n-1+n+n+1+n+2=4n+2，
所以k≥n+3，
将M的元配对为n对，B_i=（i，2n+1-i），1≤i≤n，
对M的任一n+3元子集A，必有三对B_i1，B_i2，B_i3，同属于A（i1，i2，i3两两不同）
又将M的元配为n-1对，C_i=（i，2n-i），1≤i≤n-1，
对M的任一n+3元子集A，必有一对C_i4同属于A，
这一对C_i4必与B_i1，B_i2，B_i3中至少一个无公共元素，
这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1，
故最小的正整数k=n+3．
故答案为：4n+1．

点评：本题是一道比较难的数学竞赛试题，考查学生的推理能力，难度较大．