Question

9．已知：x=x₁，x=x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x的两个极值点，且A（x₁，$\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{1}{{x}_{2}}$），则直线AB与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置关系为（　　）

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相离
• D． 位置关系不正确

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x有两个极值点，可得${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{a}$，把过A，B的直线方程整理为y=a（x-1），可知直线y=a（x-1）过定点（1，0），由此可知直线AB与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置关系．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x，得f′（x）=ax²-ax-1，
又函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x有两个极值点，
∴方程ax²-ax-1=0有两个不等的实数根，
则a²+4a＞0，且${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{a}$，
∴${k}_{AB}=\frac{\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}=a$，
则过AB的直线方程为y-$\frac{1}{{x}_{1}}=a（x-{x}_{1}）$，
整理得：$y=ax+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即y=a（x-1），
则直线y=a（x-1）过定点（1，0），
∴直线AB与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置关系为相交．
故选：B．

点评 本题考查利用导数求函数的极值，考查了椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．