Question

17．在四面体S-ABC中，$AB⊥BC，AB=BC=\sqrt{2}，SA=SC=2$，二面角S-AC-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则该四面体外接球的表面积是（　　）

• A． $8\sqrt{6}π$
• B． $\sqrt{6}π$
• C． 24π
• D． 6π

Answer 1

分析 取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S-AC-B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．

解答 解：取AC中点D，连接SD，BD，
因为AB=BC=$\sqrt{2}$，所以BD⊥AC，
因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
所以∠SDB为二面角S-AC-B．
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，
所以AC=2．
取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，
过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，
所以ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角S-AC-B的余弦值是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以cos∠EDO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$=OA=OS=OC
所以O点为四面体的外接球球心，
其半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，表面积为6π．
故选：D．

点评 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．