Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]．

Answer 1

分析：（I）由已知中f（1-x）=f（1+x），可得到函数f（x）图象的对称轴是直线x=1，若f（x）-x只有一个零点，即对应的二次方程的△=0，由于构造关于a，b的方程组，求出a，b值后，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据（1）中的解析式，我们分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三种情况分析讨论满足f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]的m，n值，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx满足条件f（1-x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．所以-

b

2a

=1，即b=-2a． …2分
因为函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，即ax²-（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．…4分
即a=-

1

2

，b=1．所以f （x）=-

1

2

x²+x．      …6分
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-

1

2

x²+x=3x的两根．
解得m=-4，n=0；                    …8分
②当m≤1≤n时，3n=

1

2

，解得n=

1

6

．不符合题意；  …10分
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即-

1

2

m²+m=3n，-

1

2

n²+n=3m．
相减得-

1

2

（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因为m≠n，所以-

1

2

（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
将n=8-m代入-

1

2

m²+m=3n，
得-

1

2

m²+m=3（8-m）．但此方程无解．
所以m=-4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…14分．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的定义域和值域，函数的零点，其中（2）中讨论区间[m，n]与对称轴的关系，是解答二次函数问题最常见的思路．