Question

18．设函数f（x）=e^x-x．
（1）若函数F（x）=f（x）-ax²-1的导函数F′（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求证：f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{n+1}$）＞n+$\frac{n}{4（n+2）}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求导数，导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，可得H'（x）=e^x-2a≥0，即可求实数a的最大值；
（2）F（x）在[0，+∞）上是增函数，此时F（0）=0，F（x）≥0，即f（x）≥$\frac{1}{2}$x ²+1，x∈[0，+∞），可得f（$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$） ²+1，f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$） ²+1，…f（$\frac{1}{n+1}$）≥$\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{n+1}$） ²+1，各式相加，即可证明结论．

解答 （1）解：F'（x）=f'（x）-2ax=（e^x-1）-2ax，
令H（x）=F'（x），
由题知H'（x）=e^x-2a≥0，
所以a≤$\frac{1}{2}$e^x，x∈[0，+∞），
所以a≤$\frac{1}{2}$；
（2）证明：由（1）知当a=$\frac{1}{2}$时F'（x）在[0，+∞）上是增函数，
故F'（x）≥F'（0）=0，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，
此时F（0）=0，F（x）≥0，
即f（x）≥$\frac{1}{2}$x ²+1，x∈[0，+∞），
即有f（$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$） ²+1，f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$） ²+1，
…f（$\frac{1}{n+1}$）≥$\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{n+1}$） ²+1，
各式相加有f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{n+1}$）
≥$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{3}$）²+…+（$\frac{1}{n+1}$）²]+n
＞$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+n
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$]+n
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）+n=n+$\frac{n}{4（n+2）}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．