Question

8．设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a＞b＞0时，试证明：（1+a）^b＜（1+b）^a．

Answer 1

分析 （1）根据导数的符号从而确定函数的单调区间，从而求得函数的极值．
（Ⅱ）要证（1+a）^b＜（1+b）^a，只需证bln（1+a）＜aln（1+b），只需证  $\frac{ln（1+a）}{a}＜\frac{ln（1+b）}{b}$，设$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}$，（x＞0），利用导数求出单调性，即可证明．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为（-1，+∞），f'（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1）…（2分）
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，…（4分）
所以当x=0时，f（x）_极大值=f（0）=0．函数f（x）无极小值．      …（5分）
（2）要证（1+a）^b＜（1+b）^a，只需证bln（1+a）＜aln（1+b），…（6分）
只需证  $\frac{ln（1+a）}{a}＜\frac{ln（1+b）}{b}$，…（7分）
设$g（x）=\frac{ln（1+x）}{x}$，（x＞0），则g′（x）=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，…（10分）
由（1）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）单调递减，∴x-（x+1）ln（x+1）＜f（0）=0，
即g（x）在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0
∴g（a）＜g（b），故不等式（1+a）^b＜（1+b）^a．成立． …（12分）

点评 本题考查了利用导数求函数极值，构造新函数证明不等式，属于中档题．