Question

20．如图1所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图2的四棱锥．

（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，推导出EO∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）由题意知DA，DC，DP两两垂直，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，
又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线，所以EO∥PA…（2分）
因为EO?平面EDB，PA?平面EDB
所以PA∥平面EDB…（4分）
解：（Ⅱ）由题意有PD⊥DC，PD⊥DA，AD⊥CD，故DA，DC，DP两两垂直
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz…（6分）
则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
A（2，0，0），C（0，2，0）
由题知PD⊥平面ABCD
又因为AC?平面ABCD，所以AC⊥PD，
又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，所以平面PBD的法向量是$\overrightarrow{AC}=（-2，2，0）$…（8分）
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由于$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}2x+2y-2z=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）…（10分）
则cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由图可知求二面角C-PB-D的平面角为锐角，
所以二面角C-PB-D的大小为60^o…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．