Question

5．设函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，若f（x）在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出f′（x），由题意得：?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上-2使得f′（x）＜0，令g（x）=-x²-2x，只需求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，
∴f′（x）=x²+2x+a，
∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax，a∈R$，若f（x）在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在单调递减区间，
∴?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上使得f′（x）＜0，
即：?x∈（$（-∞，-\frac{3}{2}）$上-2使得a＜-x²-2x，
令g（x）=-x²-2x，
只需求出g（x）=-x²-2x在区间$（-∞，-\frac{3}{2}）$上的最大值即可，
而g（x）_max=g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想的综合运用，考查考查分析与理解能力，属于中档题．