Question

19．已知抛物线y²=ax的准线是l：x=-$\frac{1}{2}$．
（1）写出抛物线的焦点F的坐标和标准方程；
（2）若经过焦点切斜角为45°的直线与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据准线方程求出a，得出标准方程和焦点坐标；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的性质得出|AB|．

解答 解：（1）由题意可知-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=2，
∴抛物线的标准方程为y²=2x，焦点F（$\frac{1}{2}$，0）．
（2）直线AB的方程为y=x-$\frac{1}{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得x²-3x+$\frac{1}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=x₁+x₂+1=4．

点评 本题考查了抛物线的性质，焦点弦公式，属于基础题．