Question

14．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表，他将一元n（n∈N^*）次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法叫秦九韶算法．如果没有秦九韶算法，人们在编程求axⁿ（a≠0，1）值时需要设计n次乘法运算，现在利用秦九韶算法编程求f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1，当x=0.2的值时，所需乘法运算的次数比没有秦九韶算法所需乘法运算的次数少了（　　）

• A． $\frac{{n}^{2}+n}{2}$
• B． $\frac{{n}^{2}-n}{2}$
• C． $\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$
• D． n

Answer 1

分析 f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1=（…（（n+1）x+n）x+…+2）x+1，因此当x=0.2的值时，所需乘法运算的次数为n，而没有秦九韶算法所需乘法运算的次数为：n+（n-1）+…+1，即可得出．

解答 解：f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1=（…（（n+1）x+n）x+…+2）x+1，
因此当x=0.2的值时，所需乘法运算的次数为n，
而没有秦九韶算法所需乘法运算的次数为：n+（n-1）+…+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
∴当x=0.2的值时，所需乘法运算的次数比没有秦九韶算法所需乘法运算的次数少了$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了秦九韶算法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．