Question

9．已知△ABC的三边长为AB=2，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值为（　　）

• A． 0
• B． 4
• C． -4
• D． 2

Answer 1

分析 根据△ABC的三边长度即可判断出△ABC为直角三角形，∠C=90°，从而可以求出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=0$，而根据数量积的运算及向量加法的几何意义即可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-4$，从而便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：如图，
根据条件，AB²=BC²+AC²；
∴∠C=90°；
∴$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{CA}$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}=0$；
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}）•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AB}=-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-4$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=-4$．
故选：C．

点评 考查直角三角形边的关系，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量加法的几何意义，相反向量的概念．