Question

12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且$|MN|•|MP|=2\sqrt{2}$，则f（1）的值为0．

Answer 1

分析 由题意，求出结合函数的图象，图象关于y轴对称，φ=$\frac{π}{2}$，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=$\frac{1}{2}$|MN|，且$|MN|•|MP|=2\sqrt{2}$，求解|MN|和A，即得函数f（x）=Asin（ωx+φ）

解答 解：由题意，图象关于y轴对称，φ=$\frac{π}{2}$，
∵△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=$\frac{1}{2}$|MN|，且$|MN|•|MP|=2\sqrt{2}$，
解得：|MN|=2，|PM|=$\sqrt{2}$
在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高为1，即P点的纵坐标是1，
故得A=1，
T=2|MN|=4，
∴$ω=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$
∴函数f（x）=Asin（ωx+φ）=sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}$）=$cos（\frac{π}{2}x）$，
当x=1时，即f（1）=cos$\frac{π}{2}$=0．
故答案为0．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．