Question

（本小题满分12分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数，

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）函数在上不是有界函数;（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将代入可得，令利用函数的单调性判断出在上是单调递增函数，即可求得，从而得到的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出不是有界函数；

（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得在上恒成立，利用参变量分离转化为在上恒成立，令，则，，问题转化为求的最大值和最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数和的单调性，即可求得最值，从容求得的取值范围．

试题解析：（1）当时， ,令 ，因为在上单调递增，，即在的值域为

故不存在常数，使成立，所以函数在上不是有界函数。

（2）由题意知，对恒成立。

， 令∴ 对恒成立 9分∴

设，，由，

由于在上递增，在上递减，

在上的最大值为， 在上的最小值为

所以实数的取值范围为。

考点：1．指数与指数函数；2．函数综合．