Question

16．已知函数f（x）=cosx•tan（x+$\frac{π}{3}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正切函数的性质可得x+$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，可得定义域．利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=cosx•tan（x+$\frac{π}{3}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
根据正切函数的性质可得x+$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
可得：x≠$\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠$\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z}．
将函数f（x）化简可得：f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x$+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$$+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cso2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上时，
可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{4π}{3}$，$-\frac{π}{3}$]．
当2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$．
当2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故得函数f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值为$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．