Question

7．在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan∠C=$\frac{1}{tan∠BAM}$．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系．
（2）先设出3个连续的整数，再由勾股定理确定关系，根据余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）设∠BAM=α，∠MAC=β，则由tanC=cotα，可得α+C=90°，
∴β+B=90°．…（1分）
△ABM中，由正弦定理得$\frac{BM}{sinα}=\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{sinB}{sinα}=\frac{AM}{MB}$，同理得$\frac{sinC}{sinβ}=\frac{AM}{MC}$，…（3分）
∵MB=MC，
∴$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{sinC}{sinβ}$，
∴sinαsinC=sinβsinB，
∵α+C=90°，β+B=90°，
∴sinαcosα=sinβcosβ，…（5分）
即sin2α=sin2β，
∴α=β，或α+β=90°，
当α+β=90⁰时，AM=$\frac{1}{2}$BC=MC，与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．…（7分）
（2）在直角三角形AMC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，
由（n+1）²=n²+（n-1）²，得n=4，…（9分）
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=$\frac{7}{25}$，或cos∠BAC=-$\frac{7}{25}$．…（12分）

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，一定要强化记忆，属于中档题．