Question

设命题P：不等式x²-4x+a²≤0的解集是空集，命题Q：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，若命题“P∨Q”为真命题，且命题“P∧Q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数函数的定义域分析求解命题P为真命题时的条件；通过求

m2+8

，（m∈[-1，1]）的最大值，求出命题q为真命题时的条件，再根据复合命题真值表求解即可．

解答： 解：命题P：△=16-4a²＜0⇒a＞2或a＜-2，
命题q：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
∵对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，
只须满足 a²-5a-3≥3，
∴a≥6或a≤-1．
故命题q为真命题时，a≥6或a≤-1，
∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，根据复合命题真值表，命题P与q一真一假
（1）若P真q假，则

a＞2或a＜-2 -1＜a＜6

⇒2＜a＜6．
（2）若P假q真，

-2≤a≤2 a≤-1或a≥6

则⇒-2≤a≤-1，
综合（1）（2）得实数a的取值范围为-2≤a≤-1或2＜a＜6．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题与对数函数的性质．