Question

【题目】已知椭圆（）的焦点分别为，，离心率，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆有两个不同的交点，，且点在点，之间，试求和面积之比的取值范围（其中为坐标原点）.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将角化为边，再根据椭圆定义得，求得，根据离心率求得，，（2）两面积之比等于A,B两点纵坐标之比，所以先设的方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得，令，消元可得，即. 根据判别式大于零得.解不等式可得取值范围

试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由椭圆定义得，所以，故，又，所以，，所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与椭圆方程联立，

消去x整理得，

由，解得.

设,则

令，则，且.

将代人①②得，消去得，

即.

由，得，所以且,

解得或.

又，∴，故和面积之比的取值范围为.