【题目】“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称,如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等,其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲,后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. 原文如下:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这是一个已知某数被3除余2,被5除余3,被7除余2,求此数的问题.现将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数,则中位数为__________.
【答案】968
【解析】
推导出满足条件的一个数为.,用 233 除以 3,5,7 三个数的最小公倍数 105,得到余数 23,由此求出将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数,由此能求出满足条件的数的中位数.
解:从3 和5 的公倍数中找出被7 除余1 的最小数15,
从3 和7 的公倍数中找出被 5 除余1 的最小数21,
最后从5 和7 的公倍数中找出除3 余1 的最小数70,
用15 乘以(2 为最终结果除以7 的余数),
用21 乘以(3 为最终结果除以5 的余数),
同 理,用70 乘以 (2为最终结果除以3 的余数),
然后把三个乘积相加,
即.
用 233 除以 3,5,7 三个数的最小公倍数 105,得到余数 23,
将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数,依次为:
23,128,233,338,443,548,653,758,863,968,1073,1178,1283,1388,1493,1598,1703,1808,1913,
中位数为:968.
故答案为:968.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求方程的实数解;
(Ⅱ)如果数列满足
,
(
),是否存在实数
,使得
对所有的
都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列的前
项的和为
,证明:
.
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【题目】为考查某种药物预防疾病的效果,随机抽查了50只服用药的动物和50只未服用药的动得知服用药的动物中患病的比例是,未服用药的动物中患病的比例为
.
(I)根据以上数据完成下列2×2列联表:
患病 | 未患病 | 总计 | |
服用药 | |||
没服用药 | |||
总计 |
(II)能否有99%的把握认为药物有效?并说明理由.
附:
… | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
… | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】小明家的晚报在下午任何一个时间随机地被送到,他们一家人在下午
任何一个时间随机地开始晚餐.为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率,某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率,他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号,
编号为01,
编号为02,依此类推,
编号为90.在随机数表中每次选取一个四位数,前两位表示晚报时间,后两位表示晚餐时间,如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义,视为这次读取的无效数据(例如下表中的第一个四位数7840中的78不符合晚报时间).按照从左向右,读完第一行,再从左向右读第二行的顺序,读完下表,用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为
7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 4052 |
4201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655 |
A.B.
C.
D.
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【题目】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中错误的一个是( )
A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21
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【题目】某研究机构对高三学生的记忆力和判断力
进行统计分析,得下表数据:
6 | 8 | 10 | 12 | |
2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请在图中画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
相关公式:,
.
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【题目】手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
年龄段 | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人数 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | |
使用手机支付 | ||
不使用手机支付 |
(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:.
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【题目】阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
、
间的距离为
,动点
满足
,则
的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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