Question

19．如图，正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）设AC，BD交点为O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；
（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）为平面PBD的一个法向量，求出cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞，则|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞|即为所求．

解答 证明：（I设AC，BD交点为O，连结PO．则O为正方形ABCD的中心，
∴PO⊥平面ABCD．∵BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD．
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又AC?平面PAC，PO?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面PAC．
（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，
∵正四棱锥的棱长为4，∴OA=OB=OD=2$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），∴E（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
显然x轴⊥平面PBD．∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）是平面PBD的一个法向量，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=1，|$\overrightarrow{BE}$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．