Question

设函数f（x）=a（2x-1）+（2a²+1）ln（-x），a∈R．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性；
（2）当a≥0时，判断f（x）在[-1，-

1

2

]上的零点个数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域（-∞，0），再求导f′（x）=2a+

2a2+1

x

，从而讨论函数的单调性；
（2）讨论a的取值，从而利用函数的单调性及函数零点的判定定理求解零点的个数．

解答： 解：（1）函数f（x）=a（2x-1）+（2a²+1）ln（-x）的定义域为（-∞，0），
f′（x）=2a+

2a2+1

x

，
①当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（-∞，0）上是减函数；
②当a＞0时，f′（x）=2a+

2a2+1

x

=

2a(x+ 2a2+1 2a )

x

，
则当x∈（-∞，-

2a2+1

2a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（-

2a2+1

2a

，0）时，f′（x）＜0，
则f（x）在（-∞，-

2a2+1

2a

）上单调递增，在（-

2a2+1

2a

，0）上单调递减；
（2）①当a=0时，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0解得，x=-1，
故f（x）在[-1，-

1

2

]上有一个零点；
②当a＞0时，
∵

2a2+1

2a

-1=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

2a

＞0，
[-1，-

1

2

]⊆（-

2a2+1

2a

，0），
即f（x）在[-1，-

1

2

]上单调递减，
又∵f（-1）=-3a＜0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
故f（x）在[-1，-

1

2

]上没有零点．

点评：本题考查了函数的零点的判断及导数的应用，属于难题．