Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=3，则直线A₁C与平面ABC₁D₁所成角的正弦值为（　　）

• A、

  3 35

  35

• B、

  3 14

  7

• C、

  14

  7

• D、

  3 2

  10

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：求出A₁C，设直线A₁C与平面ABC₁D₁所的交点为O，则O为中点，在直角△A₁AD₁中，过A₁作A₁H⊥AD₁，垂足为H，连接OH，证得∠A₁OH即为直线A₁C与平面ABC₁D₁所成角，再解直角三角形A₁OH，即可得到正弦值．

解答： 解：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C=

AB2+AD2+AA12

=

1+4+9

=

14

，
设直线A₁C与平面ABC₁D₁所的交点为O，则O为A₁C的中点，
即有A₁O=

14

2

，在直角△A₁AD₁中，过A₁作A₁H⊥AD₁，垂足为H，连接OH，
由AB⊥平面AD₁，易得A₁H⊥平面ABC₁D₁．
则∠A₁OH即为直线A₁C与平面ABC₁D₁所成角，
由于A₁H=

A1A•A1D1

AD1

=

3

10

，
即有sin∠A₁OH=

A1H

A1O

=

3

10

×

2

14

=

3 35

35

．
故选A．

点评：本题考查直线与平面所成的角的求法，考查线面垂直的性质和判定，运算能力，属于中档题．