Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$．
（I）讨论函数的单调性，并证明当x＞-2时，xe^x+2+x+4＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=$\frac{{{e^{x+2}}-ax-3a}}{{{{（x+2）}^2}}}$（x＞-2）有最小值，设g（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到f（x）＞f（-2），证明结论即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，得到g（x）的最小值，分离a，得到$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈（-1，0]$，所以-2＜x₀≤0．令$u（x）=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}（-2＜x≤0）$，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由$f（x）=\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$，
得$f'（x）=（{\frac{4}{{{{（x+4）}^2}}}+\frac{x}{x+4}}）{e^{x+2}}=\frac{{{{（x+2）}^2}}}{{{{（x+4）}^2}}}{e^{x+2}}≥0，（x≠-4）$，
故f（x）在（-∞，-4）和（-4，+∞）上单调递增，…（3分）
当x＞-2时，由上知f（x）＞f（-2）=-1，
即$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}＞-1$，即xe^x+2+x+4＞0，得证．…（5分）
（Ⅱ）对$g（x）=\frac{{{{e}^x}-ax-3a}}{{{{（x+2）}^2}}}$求导，
得$g'（x）=\frac{{x{{e}^{x+2}}+a（x+4）}}{{{{（x+2）}^3}}}=\frac{{（x+4）[\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a]}}{{{{（x+2）}^3}}}$，x＞-2．  …（6分）
记$φ（x）=\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a$，x＞-2．
由（Ⅰ）知，函数φ（x）区间（-2，+∞）内单调递增，
又φ（-2）=-1+a＜0，φ（0）=a＞0，所以存在唯一正实数x₀，使得$φ（{x_0}）=\frac{{{x_0}-2}}{{{x_0}+2}}{{e}^{x_0}}+a=0$．
于是，当x∈（-2，x₀）时，φ（x）＜0，g'（x）＜0，
函数g（x）在区间（-2，x₀）内单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x）＞0，g'（x）＞0，
函数g（x）在区间（x₀，+∞）内单调递增．
所以g（x）在（-2，+∞）内有最小值$g（{x_0}）=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{（{x_0}+2）}^2}}}$，
由题设即$h（a）=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{（{x_0}+2）}^2}}}$．                                       …（9分）
又因为$-a=\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$．所以$h（a）=g（{x_0}）=\frac{1}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$．
根据（Ⅰ）知，f（x）在（-2，+∞）内单调递增，
$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈（-1，0]$，所以-2＜x₀≤0．
令$u（x）=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}（-2＜x≤0）$，
则$u'（x）=\frac{x+3}{x+4}{{e}^{x+2}}＞0$，函数u（x）在区间（-2，0]内单调递增，
所以u（-2）＜u（x）≤u（0），
即函数h（a）的值域为$（\frac{1}{2}，\frac{{{{e}^2}}}{4}]$．                                         …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．