Question

4．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=$\frac{1}{2}$，且a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象可知T=4（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，由周期公式可求ω，由2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求得φ，从而可求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{1}{2}$，可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合a＜c，A为锐角，可求A的值，由余弦定理可得c，由△ABC的面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又x=$\frac{π}{3}$时，2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，得φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，（k∈Z）
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）…6分
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{1}{2}$，可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵a＜c，
∴A为锐角，
∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，得A=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：7=3+c²-2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，即：c²-3c-4=0，
∵c＞0，∴解得c=4．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．