Question

【题目】如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，平面，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为45°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于点，取的中点，连接，，由中位线定理，和空间中平行的传递性可证四边形为平行四边形，即，由已知线面垂直和菱形证得平面，所以平面，再由面面垂直的判定定理得证；

（2）由直线与平面所成的角为45°求得AP，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，有空间坐标表示法表示点P,C,E,D,B,进而求得平面和平面的法向量，由向量的数量积求夹角的公式求得，法向量的夹角，观察已知图形为锐二面角，作答即可.

（1）证明：如图，连接交于点，取的中点，连接，，

∵分别是的中点，

∴，且，

∵，且，

∴,且，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面，平面，

∴，

又是菱形，，，

∴平面，∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）由直线与平面所成的角为45°知，，∴，

∴为等边三角形.设的中点为，则.

如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，，

设为平面的法向量，

则即令，可得即.

设为平面的法向量，

则即令，可得，

所以，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.