Question

“mn＜0”是方程mx²+ny²=1表示双曲线的（　　）条件．

• A、充分不必要
• B、必要不充分
• C、充要
• D、不充分不必要

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：推理和证明

分析：由充要条件的证明，结合双曲线方程的特点证明即可．

解答： 解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx²+ny²=1，可化为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
由“mn＜0”可得

1

m

、

1

n

异号，方程表示双曲线，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的充分条件；
反之，若mx²+ny²=1表示双曲线，则其方程可化为为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
此时有

1

m

、

1

n

异号，则必有mn＜0，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的必要条件；
综合可得：“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的充要条件；
故选：C．

点评：本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx²+ny²=1表示双曲线条件，属基础题．