Question

5．已知函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{3}}）+cos（{x-\frac{π}{6}}）+a$，且f（x）的最大值为1．
（I）求实数α的值；
（II）请说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，得出结论．
（II）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（I）∵$f（x）=sin（{x+\frac{π}{3}}）+cos（{x-\frac{π}{6}}）+a$=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx+a=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+a，
∵f（x）_max=2+a=1，
∴a=-1．
（II）由（I）可得：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-1，
∴把函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象向下平移1个单位，可得函数y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-1的图象．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．