Question

设关于x的方程sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

在[0，

π

2

]内有两个不同根α，β，求α+β的值及k的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：由于x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]．由于关于x的方程sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

在[0，

π

2

]内有两个不同根α，β，可得

1

2

=sin

π

6

≤

k+1

2

＜1，α+β=2×

π

2

．即可得出．

解答： 解：∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]．
∵关于x的方程sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

在[0，

π

2

]内有两个不同根α，β，
∴

1

2

=sin

π

6

≤

k+1

2

＜1，
解得0≤k＜1，
∴α+β=2×

π

2

=π．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．