Question

设f（x）=log₂

1+x

1-x

（-1＜x＜1），F（x）=f（x）+

1

2-x

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断F（x）的单调性，并用定义证明；
（3）指出G（x）=F（x）-

1

2

的零点个数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的定义和单调性的定义进行判断和证明即可

解答： （1）因为函数f（x）的定义域为（-1，1），
∴f（-x）+f（x）=log2

1-x

1+x

+log2

1+x

1-x

=0，
故可得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以0＜（1+x₁）（1-x₂）=1+x₁-x₂-x₁x₂＜1+x₂-x₁-x₁x₂=（1-x₁）（1+x₂），
即0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，
所以log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）是增函数   
（3）G（x）=F（x）-

1

2

 在（-1，1）上是增函数，而G（0）=F（0）-

1

2

=0，
故x=0是G（x）=F（x）-

1

2

的唯一零点．
因此G（x）=F（x）-

1

2

的零点个数为1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键