Question

如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=

2

，SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求SB与平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）如图所示，作SO⊥平面ABCD，垂足为O点．由SA=SC=SD，可得O点为△ACD的外心．又∠ADC=90°．因此O点为斜边AC的中点．利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明．
（II）连接OB，由（I）可得：∠SBO为SB与平面ABCD所成的角．利用等边三角形的性质可得SO=

3

．再利用已知可得AB=AC=

2

，利用勾股定理可得BO，进而得到∠SBO．

解答： 解：（I）如图所示，作SO⊥平面ABCD，垂足为O点．
∵SA=SC=SD，∴O点为△ACD的外心．
∴∠ADC=90°．
∴O点为斜边AC的中点．
∴DO⊥AC，SO⊥AC．
∵SO∩OD=O，
∴AC⊥平面SOD，
∴AC⊥SD；
（II）连接OB，由（I）可得：∠SBO为SB与平面ABCD所成的角．
∵AD=DC=

2

，∠ADC=90°．
∴∠DAC=45°=∠ACD，AC=2．
∴SO=

3

．
∵∠BAD=135°，∴∠BAC=90°，
∵BC∥AD，∴∠BCD=90°．
∴∠ACB=45°．
∴AB=AC=2．
∴OB=

AB2+AO2

=

( 2 )2+12

=

3

．
∴∠ABC=45°．
∴SB与平面ABCD所成的角为45°．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的外心性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．