Question

正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．在图（2）中：
（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF
（Ⅱ）求多面体D-ABFE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（Ⅱ）利用转化法，通过大三棱锥的体积减去小三棱锥的体积即可求多面体D-ABFE的体积．

解答： 解（Ⅰ）如图（2）：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，所以EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．---------（6分）
（Ⅱ）由直二面角A-DC-B知平面ADC⊥平面BCD，
又在正△ABC中，D为边AB中点，AD⊥CD
所以AD⊥平面BCD，---------（9分）
V三棱锥A-BCD=

1

3

•S△BCD•AD=

3

6

，
V三棱锥E-FCD=

1

3

•

1

2

S△BCD•

1

2

AD=

3

24

，
所以，多面体D-ABFE的体积V=V_{三棱锥A-BCD}-V三棱锥E-FCD=

3

8

．-----（12分）

点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，几何体的体积是求法，转化思想的应用，考查线面平行的判定定理，是中档题．