Question

如图，AB为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF是边长为1的正方形，
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面BEF与平面BCF所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过圆柱母线的截面ACEF是正方形，从而截面ACEF⊥平面ABC，AE⊥CF，又AC⊥BC，从而BC⊥截面ACEF，进而BC⊥AE，由此能证明平面ABE⊥平面BCF．
（Ⅱ）平面BEF与平面BCF所成的二面角为60°，设AE∩CF=M，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCF，过E作EH⊥BF于H，连接MH，则MH⊥BF，由此能坟出直径AB长．

解答： （Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF是正方形，
∴截面ACEF⊥平面ABC，AE⊥CF，
又AB为圆柱底面直径，∴AC⊥BC，
∴BC⊥截面ACEF，∴BC⊥AE，
又∵CF∩BC=C，
∴AE⊥平面BCF，又AE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCF．
（Ⅱ）解：平面BEF与平面BCF所成的二面角为60°，
设AE∩CF=M，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCF，
过E作EH⊥BF于H，
连接MH，则MH⊥BF，∴∠EHM=60°，
设BC=t，则BE=

t2+1

，EH=

t2+1

t2+2

，
在Rt△EMH中，
依题sin∠EHM=

2 2

t2+1 t2+2

=

3

2

，
∴

t2+1

t2+2

=

2

3

，
解得t=1，
∴直径AB长为

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直径长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．