Question

将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10，17，…记为数列{a_n}（n∈N₊），第一数列1，4，9，16，25，…记为数列{b_n}（n∈N₊）
（1）写出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，用数学归纳法证明：3（T_n+T_n）=2n³+4n（n∈N₊）；
（3）当n≥3时，证明：

5

4

＜

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合,数学归纳法

专题：证明题,综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可知a_n-a_n-1=2n-1，从而可求得a_n=a₁+1+3+…+（2n-3）=n²-2n+2；观察知b_n=n²；
（2）利用数学归纳法证明即可：当n=1时3（T₁+S₁）=2×1³+4×1=6成立；假设n=k时等式成立，即3（T_k+S_k）=2k³+4k，去推证n=k+1时，3（T_k+1+S_k+1）=2（k+1）³+4（k+1）也成立即可；
（3）当n≥3时，b_n=n²＞0，易证

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

1

b1

+

1

b2

=

5

4

；利用放缩法易证

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

，再利用裂项法即可证得结论成立．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由a_n-a_n-1=2n-1，得：a_n=a₁+1+3+…+（2n-3）=n²-2n+2，…（3分）
b_n=n²…（4分）
（2）①当n=1时，T₁=S₁=1，∴3（T₁+S₁）=6，又2n³+4n=6，∴n=1时等式成立；…（5分）
②假设n=k时等式成立，即3（T_k+S_k）=2k³+4k，
则n=k+1时，
3（T_k+1+S_k+1）=3（T_k+S_k）+3（b_k+1+a_k+1）=2k³+4k+3[（k+1）²+（k+1）²-2（k+1）+2]
=2k³+4k+6+6（k+1）²-6（k+1）
=2k（k²-1）+6（k+1）+6k（k+1）
=（2k²+4k+6）（k+1）
=[2（k+1）²+4]（k+1）
=2（k+1）³+4（k+1），
∴n=k+1时等式也成立．…（8分）
根据①②，3（T_n+S_n）=2n³+4n（n∈N₊）；都成立．　  …（9分）
（3）当n≥3时，b_n=n²＞0，∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

1

b1

+

1

b2

=

5

4

．…（11分）
又

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

5

4

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=

5

4

+

1

2

-

1

n

＜

7

4

．
综上可知：综上可知：

5

4

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

7

4

成立．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的通项公式的确定及数学归纳法的应用，考查放缩法与裂项法的综合应用，考查推理、综合运算及抽象思维、逻辑思维能力，属于难题．