Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

2

2

．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A、M、N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求证：直线l过定点（2，0）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意知e=

c

a

=

2

2

，b=

2

1+1

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线过定点（2，0）．

解答： （I）解：由题意知e=

c

a

=

2

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因为b=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）证明：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1．
则有x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．（8分）
因为∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，
所以kMF2+kNF2=0，又F2(1，0)，（9分）

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化简得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
将x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

代入上式得m=-2k（满足△＞0）．
直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点（2，0）．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．