Question

如图所示，已知A、B分别是离心率为e的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，|OA|=2，点M为线段AB的中点，直线OM（其中O为坐标原点）交椭圆于C、D两点，△ABC与△ABD的面积分别记为S₁、S₂．
（1）用e表示点C、D的坐标．
（2）求证：

S1

S2

为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出直线OM的方程，代入椭圆方程，化简整理，即可用e表示点C、D的坐标．
（2）

S1

S2

=

|CM|

|DM|

=

(1- 2 )2+[ 1-e2 - 2(1-e2) ]2

(1+ 2 )2+[ 1-e2 + 2(1-e2) ]2

，化简可得结论．

解答： （1）解：∵a=2，∴b²=a²（1-e²）=4（1-e²），
∴b=2

1-e2

，
∴A（2，0），B（0，2

1-e2

），
∴M（1，

1-e2

），故直线OM的方程为y=

1-e2

x，
代入椭圆方程，化简整理得：x²=

a2

2

=2，即x=±

2

，
可得：C（

2

，

2(1-e2)

），
D（-

2

，-

2(1-e2)

）．（6分）
（2）证明：

S1

S2

=

|CM|

|DM|

=

(1- 2 )2+[ 1-e2 - 2(1-e2) ]2

(1+ 2 )2+[ 1-e2 + 2(1-e2) ]2

=

2 -1

2 +1

=3-2

2

，为定值．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积比值是否为定值的判断与证明，属于中档题．