Question

设x，y≠0，且方程（x²+xy+y²）a=x²-xy+y²成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：变形换元可得

2

1-a

-1=t+

1

t

，由基本不等式可得t+

1

t

的范围，进而可得

2

1-a

-1的范围，解不等式可得．

解答： 解：由题意可得a=

x2-xy+y2

x2+xy+y2

=

( x y )2- x y +1

( x y )2+ x y +1

，
令

x

y

=t≠0，可得a=

t2-t+1

t2+t+1

=1-

2t

t2+t+1

=1-

2

t+ 1 t +1

，
变形可得

2

1-a

-1=t+

1

t

，
由基本不等式可得t+

1

t

≥2或t+

1

t

≤-2，
∴

2

1-a

-1≥2或

2

1-a

-1≤-2，
解得

1

3

≤a＜1或1＜a≤3
故答案为：

1

3

≤a＜1或1＜a≤3

点评：本题考查基本不等式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．