Question

设函数，，为常数
（1）求的最小值的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1);(2).

试题分析：(1)根据二次函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,又函数的对称轴为直线,且,可分,,进行分类讨论,从而求得函数的最小值的解析式;(2)由(1)知当时,函数为单调递减函数,且最大值为,当时,函数,在上为单调递增,在上单调递减,最大值为,当时,函数为单调递增,最大值为,所以关于自变量的函数的最大值为,又由不等式得,对于任意均成立,从而存在最小的整数.
试题解析：（1）由题意,函数图像是开口向上,对称轴的抛物线,
当时，在上是增函数，时有最小值
当时，在上是减函数，时有最小值
③当时，在上是不单调，时有最小值              8分
（2）存在，由题知在是增函数，在是减函数
时，，
恒成立，
为整数，的最小值为                  14分