Question

18．若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，则a的值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{64}$
• C． 1或$\frac{1}{64}$
• D． 1或-$\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k，另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．继而得出k的值，即可求l的方程．再根据与y=x²+a相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答 解：设直线l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2相切于原点时，k=2．直线l的方程为2x-y=0
若直线与曲线f（x）=x³-3x²+2x切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²-6x₀+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2，∴2x₀²-3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=$\frac{3}{2}$，∴k=x₀²-3x₀+2=-$\frac{1}{4}$，直线l的方程为x+4y=0．
直线l的方程为2x-y=0与y=x²+a联立，可得x²-2x+a=0，其中△=0，即（-2）²-4a=0，解得a=1；
直线l的方程为x+4y=0与y=x²+a联立，可得x²+$\frac{1}{4}$x+a=0，其中△=0，即（$\frac{1}{4}$）²-4a=0，解得a=$\frac{1}{64}$．
故选：C

点评 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．